ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！
超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！


［第５１回］


●チェビシェフの多項式（逆展開式）を求める

前回はチェビシェフの近似式を「数値計算」（コロナ社）で説明されていた方法で求めてみました。
この方法は表を作成することで比較的容易に近似式を求めることができます。
ただし事前に準備が必要です。
テイラーの多項式のほかにチェビシェフの多項式が必要なのですが、「数値計算」の方法では、そのほかにさらに逆展開式なるものが必要です。
逆展開式はチェビシェフの多項式が、左辺がＴｎで右辺がｘ^ｎの式になっているのとは逆に、左辺がｘ^ｎで右辺がＴｎの式になっているものです。
前回はテイラーの５次の多項式から３次の近似式を求めました。
そのときに表を作成するのに使った逆展開式は
ｘ＝Ｔ１　…（１）
ｘ^３＝（３Ｔ１＋Ｔ３）／４　…（２）
ｘ^５＝（１０Ｔ１＋５Ｔ３＋Ｔ５）／１６　…（３）
の３つでした。
この各式は「数値計算」からそのまま引用しました。

ところで［第４９回］ではＥＸＣＥＬを使ってテイラーの１１次の多項式からチェビシェフの９次の近似式を求めてみました。
その方法ではＥＸＣＥＬを使いましてもちょいと面倒なやり方になってしまいます。
前回説明しました「数値計算」での方法ならＥＸＣＥＬを使えば割と楽に結果を求められそうです。
せっかくですから「数値計算」の方法でもＥＸＣＥＬを使ってテイラーの１１次の多項式からチェビシェフの９次の近似式を求めてみることにしたいと思います。

ところが。
残念なことに「数値計算」には９次の逆展開式までしか載っていません。
テイラーの１１次の多項式からチェビシェフの９次の近似式を求めるためには１１次までの逆展開式が必要です。
仕方がありませんから、とりあえずは手計算で算出しました。
これはなかなかに面倒な作業です。

逆展開式の求め方です。
チェビシェフの多項式から求めます。
チェビシェフの多項式は［第４５回］でＢｏｒｌａｎｄ　Ｃ＋＋を使って求めました。
そのＴ１１の式
Ｔ１１＝１０２４ｘ^１１−２８１６ｘ^９＋２８１６ｘ^７−１２３２ｘ^５＋２２０ｘ^３−１１ｘ
を変形します。
ｘ^１１＝（Ｔ１１＋２８１６ｘ^９−２８１６ｘ^７＋１２３２ｘ^５−２２０ｘ^３＋１１ｘ）／１０２４　…（４）
これでとりあえず左辺に ｘ^１１が来て右辺にＴ１１が来ました。
残りのｘ^９〜ｘの項は「数値計算」に載っている逆展開式を使ってＴｎに置き換えます。
ｘ、ｘ^３、ｘ^５は今回の上のほうで引用しています。
参考までにｘ^７、ｘ^９も「数値計算」から引用して下に示します。
ｘ^７＝（Ｔ７＋７Ｔ５＋２１Ｔ３＋３５Ｔ１）／６４　…（５）
ｘ^９＝（Ｔ９＋９Ｔ７＋３６Ｔ５＋８４Ｔ３＋１２６Ｔ１）／２５６　…（６）

（１）（２）（３）（５）（６）式を（４）式に代入することでｘ^１１の逆展開式が求まります。
ｘ^１１＝（Ｔ１１＋１１Ｔ９＋５５Ｔ７＋１６５Ｔ５＋３３０Ｔ３＋４６２Ｔ１）／１０２４　…（７）

上のように求まることは求まるのですけれど、なんたってかなり大きな分数の計算を、通分しながら計算しなければなりませんからなかなかに大変な作業です。
さらに次数の大きな逆展開式を求めようとしますと、どんどん係数が大きくなって、項数も増えてきますから、手計算はさらに困難になってきます。

むむ。
近似式を求めることは表を作成することで割りと楽にできそうなのですが、とんでもない落とし穴がありました。
逆展開式を求めることが困難ではどうしようもありません。
そういうことになりますと、ここはやっぱり［第４５回］でやりましたようにＣ＋＋を使ってプログラムで逆展開式を求めることを考えてみるべきでありましょう。
ということで。
さっそく［第４５回］でお見せしましたチェビシェフの多項式を求めるプログラムに追加する形で、逆展開式も求めるプログラムに書きあらためました。
前半で求めた結果をそのまま利用して、後半で逆展開式を求めます。
プログラムとそれを実行した結果については次回に説明いたします。
どのようなプログラムを書けばよいか、皆様もちょいと考えてみてくださいませ。

ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第５１回］
２０１４．１０．１２ｕｐｌｏａｄ

前へ
次へ
ホームページトップへ戻る