ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！
超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！


［第５０回］


●「数値計算」の方法でチェビシェフの近似式を求める

［第４６回］でテイラーの多項式からチェビシェフの近似式を計算によって求めました。
その方法が一般的なものかどうかは私にはわかりません。
［第４６回］で紹介しましたサイトで説明されていたやり方に従って求めました。
ちょいと面倒なやり方です。
ま、しかし、そのときはそういうものだと納得したのでありましたが。

ところがその後になってコロナ社の「数値計算」を再入手しましたところ、そこでもテイラーの多項式からチェビシェフの近似式を求める方法が説明されていることを発見しました。
そこで説明されていた求め方は、［第４６回］の方法とは異なっていました。
しかも、こちらのほうが簡単ではありませんか！

で、今回は「数値計算」で説明されております方法でチェビシェフの近似式を求めてみることにいたします。
こちらのほうが簡単なのですが、ちょっと準備が必要です。
チェビシェフの多項式を使うところは同じなのですが、そのほかにチェビシェフの逆展開式というものが必要です。
これはチェビシェフの多項式のＴｎ＝ｆ（ｘ）から逆にｘ^ｎ＝ｆ（Ｔｎ）を求めたもので、同書にはｘ^０〜ｘ^９までの式が掲載されています。
のちほどこの式の算出方法についても考えてみることにしますが、とりあえずは同書に掲載されております式をそのまま使うことにいたします。
［第４６回］と同様にテイラーの５次式からチェビシェフの３次の近似式を求めてみます。
そこで必要になる逆展開式は、ｘ、ｘ^３、ｘ^５の式です。
下に各式を同書から引用して示します。
ｘ＝Ｔ１　…（１）
ｘ^３＝（３Ｔ１＋Ｔ３）／４＝（３／４）Ｔ１＋Ｔ３／４　…（２）
ｘ^５＝（１０Ｔ１＋５Ｔ３＋Ｔ５）／１６＝（５／８）Ｔ１＋（５／１６）Ｔ３＋Ｔ５／１６　…（３）

もとになるテイラーの５次の多項式は下の式でした。
ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ^５／５！−ｘ^３／３！＋ｘ
＝ｘ^５／１２０−ｘ^３／６＋ｘ　…（４）

上記の式をもとに下の表を作成します。

　　　　　　　　　　Ｔ１　　　　　　　　　　　　　　　　Ｔ３　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｔ５
ｘ^５／１２０　　　５／８／１２０＝１／１９２　　　５／１６／１２０＝１／３８４　　　１／１６／１２０＝１／１９２０
−ｘ^３／６　　　　−３／４／６＝−１／８　　　　−１／４／６＝−１／２４
ｘ　　　　　　　　　１
Σ　　　　　　　　１６９／１９２　　　　　　　　　　　−５／１２８　　　　　　　　　　　　　１／１９２０

表の左端にテイラーの多項式を縦に並べ、その右側にＴ１、Ｔ３、Ｔ５の各列を置きます。
縦横の交点には左端のｘ^ｎに（１）〜（３）式を代入したときのＴｎの係数を計算して置きます。
Σの行は各列の合計値です。

作成した表の値を使って、ただしＴ５は省略してＴ１とＴ３のみを使って式を示します。
（４）式のｘ^ｎの項をＴｎの項で置き換えますが、このとき元の（４）式の各項の係数は無視します。
新しい式のＴｎの各項の係数にはΣの値を使います。

ｓｉｎ（ｘ）＝（１６９／１９２）Ｔ１−（５／１２８）Ｔ３

最後にチェビシェフの多項式（［第４５回］参照）からＴ１とＴ３をｘ^ｎに置き換えます。
Ｔ１＝ｘ、Ｔ３＝４ｘ^３−３ｘ
をそれぞれ代入して

ｓｉｎ（ｘ）＝（１６９／１９２）ｘ−（５／３２）ｘ^３＋（１５／１２８）ｘ
＝（３８３／３８４）ｘ−（５／３２）ｘ^３

となります。
［第４６回］と全く同じ式が得られました。

うーん。
表に数値を当てはめていくだけでＴｎの係数が求まってしまいました。
こちらのやり方のほうがよさそうですねえ。
特にＥＸＣＥＬを使う場合にはより有利になりそうです。

［２０１４．１０．１０追記］
昨日は時間がありませんでしたので表の作成のあたりの説明をはしょってしまいました。
表には計算式を置きましたので推測していただけるとは思いますが、念のために、今朝になってから、表の作成〜近似式を得るところまでに説明を付け加えました。

ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第５０回］
２０１４．１０．９ｕｐｌｏａｄ
２０１４．１０．１０追記

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