超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！
［第４９回］
●ＥＸＣＥＬでチェビシェフの近似式を求める
前回はＥＸＣＥＬでｓｉｎ（ｘ）を計算し、その値とテイラーの多項式、チェビシェフの近似式での計算結果とのそれぞれの差をグラフにプロットしてみました。
こういうときにＥＸＣＥＬはなかなかに便利です。
チェビシェフの近似式の求め方は［第４６回］で説明しました。
そこでは例としてテイラーの５次式から３次の近似式を求めました。
３次式ですからなんとか手計算でも求めることができたのですが、９次式となるととても手計算では求められません。
電卓を使えばできないことはないでしょうけれど、そりゃあ大変です。
昔はそれでもそうするより仕方がなかったのでしょうけれど、今は有難いことにＥＸＣＥＬを使えば簡単に求めることができます。
ちなみにチェビシェフの９次の近似式を求めるためにはテイラーの１１次の多項式をもとに計算します。
もうその時点でかなり大変です。
テイラーの１１次の多項式を降順にして示しますとこうなります。
ｓｉｎ（ｘ）＝−ｘ１１／１１！＋ｘ９／９！−ｘ７／７！＋ｘ５／５！−ｘ３／３！＋ｘ
＝−ｘ１１／３９９１６８００＋ｘ９／３６２８８０−ｘ７／５０４０＋ｘ５／１２０−ｘ３／６＋ｘ
１／３９９１６８００なんて計算をしなければならないのですから、ＥＸＣＥＬの有難さがわかろうというものです。
［第４６回］で説明しました方法は、テイラーの多項式と同じ次数のチェビシェフの多項式を使って、連立方程式の消去法と同じ算法で高次のものから順にその次数の項を消去できるような係数を求めていきます。
そのようにして順次求めた係数を最高次のみ無視して、その下の次数のＴｎ（ｘ）にそれぞれ乗じてｘの多項式を求めると、それがチェビシェフの近似式になります。
［第４６回］で説明しましたのはそういうことなのですが、ご理解できましたでしょうか。
それをＥＸＣＥＬでやりましたのが下の画像です。
この方法はＥＸＣＥＬを使ってもちょいと面倒です。
ＬＩＮＥ１０にテイラーの多項式のＸｎの係数を記入します。
ここの値は本当は１／ｎ！なのですがいきなりそれを記入すると全部小数になってしまいます。
あとから見るとなんだこの数字は？ということになりかねませんから、ここは分母の数を書きました。
実はＭ１０には ＝−２＊３ が埋めてあります。
Ｌ１０には ＝−Ｍ１０＊４＊５ が埋めてあります。
Ｋ１０には ＝−Ｌ１０＊６＊７ が、Ｊ１０には ＝−Ｋ１０＊８＊９が、Ｉ１０には ＝−Ｊ１０＊１０＊１１が埋めてあります。
ＥＸＣＥＬは便利ですね。
ＬＩＮＥ１１からＬＩＮＥ１６には［第４５回］で算出しましたチェビシェフの多項式のＴ１１、Ｔ９、Ｔ７、Ｔ５、Ｔ３、ＴのＸの係数をそれぞれ書き込みます。
まず最初にＸ１１の項を消去するためＴ１１の係数を求めます。
Ｈ１８には ＝１／Ｉ１０／Ｉ１１ が埋めてあります。
ＬＩＮＥ１９はテイラーの１１次式の各係数が置かれています。ＬＩＮＥ１０の逆数です。
ＬＩＮＥ２０にはＬＩＮＥ１１×Ｈ１８を計算した結果を格納します。
ＬＩＮＥ１９−ＬＩＮＥ２０を計算するとＸ１１の項が消去されます。
このとき求めたＨ１８の値がＴ１１の係数ですが、これは最終段階では無視することになります。
必要なのはその次以下で求めるＴ９〜Ｔ１の係数です。
上の計算でＸ１１の項を消去して求められたＬＩＮＥ２１の値をもとにして同じ考え方で今度はＸ９の項を消去します。
Ｈ２３の値が求めるＴ９の係数になります。
以下順にＴｎの各係数を求めていきます。
実はそのような計算の過程で、Ｘｎの項を消去するために求めたＴｎの係数をＴｎの行に乗じたものがそのまま求める近似式の一部になっていますから、それをそのままＬＩＮＥ４４からＬＩＮＥ４８に転記したうえで最後に各列を合計しています。
ＬＩＮＥ４９がチェビシェフの９次の近似式の各係数です。
下はＬＩＮＥ４９を普通の数式の形で示したものです。
ｓｉｎ（ｘ）＝２．６８６８４Ｅ−６＊ｘ９−０．０００１９８３４４ｘ７＋０．００８３３３３０３ｘ５−０．１６６６６６６６１ｘ３＋ｘ
ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第４９回］
２０１４．１０．８ｕｐｌｏａｄ
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