ワンボードマイコンをつくろう！（パソコンの原点はここから始まった）
ＴＫ８０ソフトコンパチブル！８０８０、Ｚ８０マシン語からＢＡＳＩＣまでこれ１台でこなせます
当記事は２００９年１１月から「ＴＴＬでＣＰＵをつくろう！」というタイトルの もとにほとんど毎日連載をしてきたものを再編集したものです。 ２０１１．７．１
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☆ＮＤ８０ＺⅢでＢＡＳＩＣを（２）
ＮＤ８０ＺⅢに搭載予定のＢＡＳＩＣはハンパではありません。
浮動小数点演算をこなし、さらに三角関数、対数計算までできるのです。
しかも、倍精度での演算もできてしまいます。

［第６９回］

●ＬＯＧとＬＮ

Ｚ８０ＢＡＳＩＣの実数演算のサンプルプログラムで、最初にＳＱＲ（）関数とべき乗について説明をしまして、次に三角関数ＳＩＮ（）、ＣＯＳ（）、ＴＡＮ（）の説明をしました。
そうしますと、次はやっぱり対数関数ということになりますでしょう。

なので今回はそのＬＯＧ（常用対数）とＬＮ（自然対数）について説明をいたします。
ええ。
Ｚ８０ＢＡＳＩＣには、常用対数も自然対数も、備わっているのです。

まあ、今こうやってあらためて、対数関数の説明をしようとして、よくよく考えてみますと、はて、ＢＡＳＩＣでＬＯＧなど何に利用できるのだろう？
と疑問を感じてしまいます。

なんでもその昔、計算機などという便利なものがなかった時代には大きな桁数の乗算や除算は大変な労力を必要としたはずで、そのために対数という便利な概念が考え出された、と伝えられております。
とにかく大きな数値同士の乗算、除算で、概算でもよいのだけれどそこそこ正確な答えが欲しい、という場合に、対数を使うと、乗除算が加減算になってしまいますから、そりゃあ便利だったはずです。

ええ。
関数電卓の無かった昔でしたら、確かに。

ですけれど、今はわざわざ対数を使わなくても、大きな数の乗算でも除算でも、あるいは加減乗除が複雑に組み合わさった計算でも、コンピュータという便利なものがあるのですから、あっという間に計算できてしまいます。
おそらく、対数の出番などは無いのでは？

では、なぜに、Ｚ８０ＢＡＳＩＣには、わざわざ苦労してＬＯＧ（）関数やＬＮ（）関数があるのでしょうか？
いや、正直なところ、私自身が疑問に思います。

なぜかといいますと、このＺ８０ＢＡＳＩＣを作り上げた当時、そのころはＢＡＳＩＣの全盛期でありましたが、他社のＢＡＳＩＣを見ますとちゃんと対数関数があるものですから、それならウチでも入れておかにゃあまずいだろう、ということで、それ以上深くは考えないで、ＬＯＧ（）もＬＮ（）も使えるようにしてしまったと、多分そのような理由だったのではないかと思います。

まあ、そういう次第で、ＬＯＧ（）やＬＮ（）などは、いまどき余り出番の無い関数かも知れませんが、せっかく作ってある機能ですから、ここでご紹介させていただくことに致します。

まずはいつものように単精度実数型のサンプルプログラムです。

>list
    10 FOR A=1 TO 10
    20 PRINT A,LOG(A),LN(A)
    30 NEXT A
>run
1            0            0
2            0.30103      0.693147
3            0.477121     1.09861
4            0.60206      1.38629
5            0.69897      1.60944
6            0.778151     1.79176
7            0.845098     1.94591
8            0.90309      2.07944
9            0.954242     2.19722
10           1            2.30258

たった３行だけの簡単なプログラムです。
昨今はねこもしゃくしもＣばかりで、ＢＡＳＩＣなど見向きもされないようでありますが、この簡便さこそがＢＡＳＩＣの一番のウリなのです。
ＢＡＳＩＣと言いましても、その昔のＰＣ８８０１とかＰＣ９８０１の時代のＢＡＳＩＣのことで、Ｖｉｓｕａｌ　Ｂａｓｉｃなどではありません。
昔のＢＡＳＩＣは簡便で実に使い易かった、と思います。

さて、上では１～１０の間の常用対数ＬＯＧ（）と自然対数ＬＮ（）を求めています。
で、この値が正しいかどうか、ということなのですが、ＬＯＧ（）もＬＮ（）も三角関数と同様にＥＸＣＥＬで計算して求めることができます。

どうせ、ＥＸＣＥＬで求めた結果と付き合わせて評価しよう、ということでしたならば、単精度の計算ではなくて、やっぱり倍精度で計算させた結果とＥＸＣＥＬでの計算結果を比較させてみたいですよねえ。

そこで、今度は倍精度実数演算のＬＯＧ（）とＬＮ（）の計算結果を求めてみました。

>list
    10 FOR A#=1# TO 10#
    20 PRINT A#,LOG(A#),LN(A#)
    30 NEXT A#
>run
1            0            0
2            0.3010299956639812        0.6931471805599454
3            0.4771212547196624        1.09861228866811
4            0.6020599913279624        1.386294361119891
5            0.6989700043360187        1.6094379124341
6            0.7781512503836435        1.791759469228055
7            0.8450980400142567        1.945910149055313
8            0.9030899869919435        2.079441541679836
9            0.9542425094393248        2.197224577336219
10           0.9999999999999999        2.302585092994046

あれ。ＬＯＧ（１０）の計算でわずかな誤差が出てしまいました。
あくまで近似値で計算を行っていることと、１０進数ではなくて２進数で計算をしているために、１０進数ではきちんと割り切れる数でも、２進数では誤差が残ってしまうことがあります。
実用上は全く問題無い値なのですけれど、このままではちょっと見た目が悪いので、内緒で補正することにいたします。
また、三角関数のときもそうでしたが、倍精度実数演算の計算結果は表示桁数が多いので、縦がきれいに揃わないところが出てきます。そこのところもちょいとＰＲＩＮＴ文に手を加えてみました。

>list
    10 FOR A#=1 TO 10
    20 IF (A#=1)PRINT \5;A#,:PRINT LOG(A#)," ",LN(A#):GOTO 50
    30 IF (A#=10)PRINT \5;A#,:PRINT LOG(A#)+0.1D-15," ",LN(A#):GOTO 50
    40 PRINT \5;A#,:PRINT LOG(A#),LN(A#)
    50 NEXT A#
>run
    1        0                         0
    2        0.3010299956639812        0.6931471805599454
    3        0.4771212547196624        1.09861228866811
    4        0.6020599913279624        1.386294361119891
    5        0.6989700043360187        1.6094379124341
    6        0.7781512503836435        1.791759469228055
    7        0.8450980400142567        1.945910149055313
    8        0.9030899869919435        2.079441541679836
    9        0.9542425094393248        2.197224577336219
   10        1                         2.302585092994046

ご覧の通りの結果が得られました。
ＬＯＧ（１０）だけは、きちんとした値にして表示するために、結果に０．１×１０－１５を加えています。
倍精度で数値を指数表現するときは、０．１Ｄ－１５というようにします。
なお０．１Ｅ＋５のようにＥを使うと実数型定数になります。

では、これをＥＸＣＥＬでの計算結果と照合してみましょう。
ＥＸＣＥＬでの計算結果です。

a	   log	                  ln
1	0.0000000000000000 	0.0000000000000000 
2	0.3010299956639810 	0.6931471805599450 
3	0.4771212547196620 	1.0986122886681100 
4	0.6020599913279620 	1.3862943611198900 
5	0.6989700043360190 	1.6094379124341000 
6	0.7781512503836440 	1.7917594692280500 
7	0.8450980400142570 	1.9459101490553100 
8	0.9030899869919440 	2.0794415416798400 
9	0.9542425094393250 	2.1972245773362200 
10	1.0000000000000000 	2.3025850929940500

おお。ぴったりではありませんか。
と、言いたいところなのですが、ちょっと気になるところがあります。
ＬＮ（６）は、Ｚ８０ＢＡＳＩＣでは末尾が…８０５５なのに、ＥＸＣＥＬでは…８０５０になっています。
まあ計算末尾だけのことですし、このあたりは誤差の範囲と考えてもいい、と思いますから、無視してもよろしいのですけれど…。
念の為に、Ｗｉｎｄｏｗｓの関数電卓で計算してみました。

さすがに、有効桁数が違いますねえ。すごいものです。

おお。末尾は、…８０５５になっています。
お、お、おー。という感じですねえ。
ＣＰＵをつくろう！第５５４回（２０１０．７．１６ｕｐｌｏａｄ）を再編集

ワンボードマイコンをつくろう！［第６９回］
２０１１．７．１ｕｐｌｏａｄ

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