ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！
超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！
［第６２回］
●最良近似式の求め方
前回までのところでは、グラフを使って、チェビシェフの近似式から最良近似式を求める過程を見ていただきました。
今回はいよいよその求め方についての説明に入ります。
実はその説明はすでに少し書いておりまして、［第５６回］からの続きということになります。
しかしちょっと間が空いてしまいましたし、一部書き直したいところや書き足りないところなどもありますので、繰り返しになりますが、最初からもう一度書くことにします。
今求める関数ｆ（ｘ）の近似関数ｙ（ｘ）があって、
Ｅ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｙ（ｘ） …（１）
としたときに、Ｅ（ｘ）のグラフが０をはさんで＋−に一定の範囲で振動するような形になるとき、ｙ（ｘ）がｆ（ｘ）の最良近似式であるといえます。
ここにＥ（ｘ）はｆ（ｘ）に対するｙ（ｘ）の誤差の関数です。
以下説明を簡単にするため、「数値計算」での説明にしたがって、２次式について考えることにします。
いま上記、（１）の近似式としてチェビシェフの２次の近似式
ｙ（ｘ）＝ｃ０＋ｃ１ｘ＋ｃ２ｘ２ …（２）
を得たとします。
これはまだ最良近似式ではありませんが、それに近い近似式です。
ｙ（ｘ）は２次式で、上のＥ（ｘ）も２次式で考えますから、２点ｘ１、ｘ２で２つの極値β1、−β2を持ちます。
ｘ１、ｘ２を偏差点といいます。
このほかに区間の始点ｘ０、終点ｘ３も通常は極値を持つと考えられますが、必ずそうであるとは限りません。
たとえば前回までグラフで見ていただいたｓｉｎ（ｘ）の場合、その範囲をｘ０＝０°、ｘ３＝９０°（＝π／２）とした場合、ｓｉｎ（ｘ０）＝０ですからその点での誤差Ｅ（ｘ０）も０になってしまい、極値にはなりません。
［第５６回］では「区間の両端は除外して考えます」と書きましたが、それでは連立方程式を解くのに式が足りなくなって解けないことがわかりました。
ｓｉｎ（ｘ）の場合、区間の終端ｘ３＝９０°（＝π／２）ではｓｉｎ（ｘ３）＝１になり、区間中の最大値を取りますから、その誤差Ｅ（ｘ３）も最大値（＝極値）を取ると考えられます。
そこで以下の最良近似式を求める計算では、区間の始点、または終点も極値を持つ（偏差点）として考えます。
前回までのｓｉｎ（ｘ）の誤差のグラフでは山と谷が合わせて５個あります。
それと終点９０°のところも谷で終わっています。
求める最良近似式は９次式ですが、ｘの偶数次の項がなく、ｘ，ｘ３，ｘ５，ｘ７，ｘ９の実質５次式なので、５個の極値があります。
それと終点を合わせて６個です。
その点（偏差点）を手がかりにして連立方程式を作ります。
（１）のＥ（ｘ）の式はｘ０、ｘ１、ｘ２、ｘ３を代入すると
ｆ（ｘ０）−（ｃ０＋ｃ１ｘ０＋ｃ２ｘ０２）＝β０ …（３）
ｆ（ｘ１）−（ｃ０＋ｃ１ｘ１＋ｃ２ｘ１２）＝−β1 …（４）
ｆ（ｘ２）−（ｃ０＋ｃ１ｘ２＋ｃ２ｘ２２）＝β２ …（５）
ｆ（ｘ３）−（ｃ０＋ｃ１ｘ３＋ｃ２ｘ３２）＝−β３ …（６）
と書けます。
β０、−β1、β２、−β３は偏差点ｘ０、ｘ１、ｘ２、ｘ３における極値です。
［注記］
以下の式を解くには偶数個の式が必要なようです。
ですのでここでは始点ｘ０も加えて考えます。
なお上で説明しましたようにｓｉｎ（ｘ）の場合には始点は偏差点にはなりませんが、終点を加えると偏差点が偶数個になるので式を解くことができます。
さて、他方で求める最良近似式を
ｇ（ｘ）＝ｄ０＋ｄ１ｘ＋ｄ２ｘ２ …（７）
としたときｇ（ｘ）でもｙ（ｘ）と同じように書けますが、そのときの偏差点は厳密にはｘ１、ｘ２とは異なります（始点ｘ０と終点ｘ３は一致すると考えてもよいでしょう）。
しかしｙ（ｘ）もｇ（ｘ）に十分近いと考えられますから、ｙ（ｘ）のときのｘ０、ｘ１、ｘ２、ｘ３を仮に当てはめて、
ｆ（ｘ０）−（ｄ０＋ｄ１ｘ０＋ｄ２ｘ０２）＝β …（８）
ｆ（ｘ１）−（ｄ０＋ｄ１ｘ１＋ｄ２ｘ１２）＝−β …（９）
ｆ（ｘ２）−（ｄ０＋ｄ１ｘ２＋ｄ２ｘ２２）＝β …（１０）
ｆ（ｘ３）−（ｄ０＋ｄ１ｘ３＋ｄ２ｘ３２）＝−β …（１１）
とします。
最良近似式では正負誤差の最大値は絶対値が等しい値になります（と仮定します）から、上の式の右辺はβおよび−βになります。
上の各式は常識的な感覚で見ますとｘが変数のように見えますが、ｘ０、ｘ１、ｘ２、ｘ３は既知の近似式
ｙ（ｘ）＝ｃ０＋ｃ１ｘ＋ｃ２ｘ２ …（２）
の偏差点ですから定数です。
またｃ０、ｃ１、ｃ２、β０、β1、β２、β３も定数です。
それに対して求めるべき最良近似式
ｇ（ｘ）＝ｄ０＋ｄ１ｘ＋ｄ２ｘ２ …（７）
のｄ０、ｄ１、ｄ２、βは未知数ですから変数になります。
つまりこの問題は上の（３）（４）（５）（６）（８）（９）（１０）（１１）式からｄ０、ｄ１、ｄ２、βを求める問題ということになります。
そこでその解法です。
まずｄ０、ｄ１、ｄ２はそれぞれｃ０、ｃ１、ｃ２に近い値だと考えて下の式を考えます。
ｄ０＝ｃ０＋ｅ０ …（１２）
ｄ１＝ｃ１＋ｅ１ …（１３）
ｄ２＝ｃ２＋ｅ２ …（１４）
ここでｅ０、ｅ１、ｅ２はそれぞれ小さな未知の値とします。
すると結局上の問題は未知数ｅ０、ｅ１、ｅ２を求める問題になります。
最大誤差の値βも未知数ですが、問題の目的から考えると必ずしも求めなければならない値ではありません。
（８）（９）（１０）（１１）式に（１２）（１３）（１４）式を代入して整理します。
ｆ（ｘ０）−（ｃ０＋ｃ１ｘ０＋ｃ２ｘ０２）−（ｅ０＋ｅ１ｘ０＋ｅ２ｘ０２）＝β …（８）’
ｆ（ｘ１）−（ｃ０＋ｃ１ｘ１＋ｃ２ｘ１２）−（ｅ０＋ｅ１ｘ１＋ｅ２ｘ１２）＝−β …（９）’
ｆ（ｘ２）−（ｃ０＋ｃ１ｘ２＋ｃ２ｘ２２）−（ｅ０＋ｅ１ｘ２＋ｅ２ｘ２２）＝β …（１０）’
ｆ（ｘ３）−（ｃ０＋ｃ１ｘ３＋ｃ２ｘ３２）−（ｅ０＋ｅ１ｘ３＋ｅ２ｘ３２）＝−β …（１１）’
ここにそれぞれ（３）（４）（５）（６）式を代入します。
β０−（ｅ０＋ｅ１ｘ０＋ｅ２ｘ０２）＝β …（１５）
−β1−（ｅ０＋ｅ１ｘ１＋ｅ２ｘ１２）＝−β …（１６）
β２−（ｅ０＋ｅ１ｘ２＋ｅ２ｘ２２）＝β …（１７）
−β３−（ｅ０＋ｅ１ｘ３＋ｅ２ｘ３２）＝−β …（１８）
これを整理すると下の式になります。
ｅ０＋ｅ１ｘ０＋ｅ２ｘ０２＝β０−β …（１５）’
ｅ０＋ｅ１ｘ１＋ｅ２ｘ１２＝−β1＋β …（１６）’
ｅ０＋ｅ１ｘ２＋ｅ２ｘ２２＝β２−β …（１７）’
ｅ０＋ｅ１ｘ３＋ｅ２ｘ３２＝−β３＋β …（１８）’
ここで各式の２式をそれぞれ加算して最終的に下の３式を得ます。
（１５）’＋（１６）’ ２ｅ０＋ｅ１ｘ０＋ｅ１ｘ１＋ｅ２ｘ０２＋ｅ２ｘ１２＝β０−β１ …（１９）
（１６）’＋（１７）’ ２ｅ０＋ｅ１ｘ１＋ｅ１ｘ２＋ｅ２ｘ１２＋ｅ２ｘ２２＝−β1＋β２ …（２０）
（１７）’＋（１８）’ ２ｅ０＋ｅ１ｘ２＋ｅ１ｘ３＋ｅ２ｘ２２＋ｅ２ｘ３２＝β２−β３ …（２１）
（１９）（２０）（２１）の連立方程式を解いてｅ０、ｅ１、ｅ２を求め、それを（１２）（１３）（１４）に代入すれば、ｄ０、ｄ１、ｄ２が求まり、近似式ｇ（ｘ）＝ｄ０＋ｄ１ｘ＋ｄ２ｘ２が求まります。
しかしこのようにして求めたｇ（ｘ）は残念ながら最良近似式ではありません。
なぜならｄ０、ｄ１、ｄ２を求めるために利用したｘ１、ｘ２、β０、β1、β２ 、β３ は厳密にはｇ（ｘ）の値ではなくて近似式ｙ（ｘ）の値なので、そこに無理があるからです。
もっともそのようにして求めた近似式ｇ（ｘ）＝ｄ０＋ｄ１ｘ＋ｄ２ｘ２はより最良近似式に近い近似式だといえます。
そこでそのようにして求めたｇ（ｘ）＝ｄ０＋ｄ１ｘ＋ｄ２ｘ２から新たな偏差点ｘ１、ｘ２を求めて、上の計算の過程を繰り返し行なうことで次第に最良近似式に近づいていくことができます。
と、まあ、「数値計算」（赤坂隆著。コロナ社刊）に書かれている説明を、私なりに理解して分かりやすく書いたつもりですが、おわかりいただけましたでしょうか。
しかし。
上の説明はただのモデルでありまして、たかだか３元連立方程式ですから、電卓を使って手計算でもなんとか解けないことはありませんが、それでもその計算を数回繰り返すとなりますと、これはなかなか容易なことではありません。
さらにさらに。
前回までで説明をしてきましたｓｉｎ（ｘ）の近似式は
ｇ（ｘ）＝ｄ１ｘ＋ｄ３ｘ３＋ｄ５ｘ５＋ｄ７ｘ７＋ｄ９ｘ９
というものですから、求める変数は５個、したがって５元連立方程式を解かなければなりません。
しかもｘの値（１回の計算で６通り）はそれぞれ少なくとも小数点以下６〜７桁は覚悟しなければなりませんから、その３乗、５乗、７乗、９乗を求めて、それを当てはめた５元連立方程式を解くなんてことは、もう正気の沙汰ではありませんでしょう。
因みに「数値計算」（赤坂隆著。コロナ社刊）では、上記の連立方程式について、「これは容易に解けて」と書かれています。
どこが容易なんじゃあ、と思わず激高したくなります。
しかし、激高してみたって何の役にも立ちません。
とにかくなんとしても解かねばなりませぬ。
次回、５元連立方程式の解法にせまります。
［２０１４．１１．６追記］
今朝になってから読み直しましたら説明に間違いがあることに気が付きましたので、全面的に書き改めました。
現在は更新後の説明になっています。
ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第６２回］
２０１４．１１．５ｕｐｌｏａｄ
２０１４．１１．６追記
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