標準ＴＴＬだけ（！）でCPUをつくろう！（組立てキットです！）
(ホントは７４ＨＣ、ＣＭＯＳなんだけど…）
［第１９５回］

●２進数の減算について、もう少し…

前回は減算命令のうち、演算前のキャリー（ボロー）を無視するＳＵＢ命令について、その計算の仕方を考えました。
今回はボローを含めて減算を行う、ＳＢＢ命令について説明をするつもりだったのですが、もう少し２進数の減算について、考えてみたいと思います。

前回、２進数の減算の例で、負数を減算するという例について、それは実はフェイクである、というお話をしました。
２進数では、負数を扱うこともできるのに、減算命令については、実は負数を引くことはできなくて、符号無しの数として減算をするのです、と説明しました。

なんだか、わかったような、わからないような、説明でしたが、「とにかくそういうことなのです」でおしまいにしてしまいました。

●２進数では負数を引くことができないのはなぜでしょうか？

今回は、そのあたりにしつこくこだわってみたい、と思います。

２進数の減算では、負数を引くことはできない、のはなぜでしょう？

それは、２進数の負数の約束事に、その理由があるのです（と思います）。
２進数の負数については、［第１４回］で説明をしました。

たとえば８ビットの２進数を、符号付の数として考えた場合、その最上位ビット（ビット７）を１にした数、８０〜ＦＦが負数になります。
このときの８０〜ＦＦは１０進数の−１２８〜−１に相当します。
ビット７だけが１で、あとが全部０である数８０（１０進数では−１２８）は、ちょっと特殊な数なので、それは除外することにして、その他の８１〜ＦＦが８ビットの符号付の数のうちの、普通の負数です。
ではその負数と、正の数とはどのような関係にあるかというと、正の数の「２の補数」が、その正の数を負数にしたものになります。

０００００００１は正の数（１０進数の１）です。
この数の各ビットの１と０を全部反対にしたものが、０００００００１の「１の補数」です。１１１１１１１０です。
その「１の補数」に１を加えたものが、「２の補数」です。１１１１１１１１になります。
これが、符号付２進数の−１です。

ところで１６ビットの−１はどうなるでしょうか。
同じように考えてみます。
こんどは１６ビットですから、００００００００　０００００００１が１０進数の１です。
すると、１１１１１１１１　１１１１１１１０が「１の補数」になります。
それに１を加えて「２の補数」を作ります。１１１１１１１１　１１１１１１１１です。これが１６ビットの−１です。

８ビットの符号付の数は、最上位のビット７が１であるときに、負数になります。
１６ビットの符号付の数を考えると、今度は、最上位のビット１５が１のときに、負数になります。
たとえば、８ビットの符号付の数では、１１１１１１１１は負数（−１）ですし、０００００００１は正数（＋１）です。
では、１６ビットの符号付の数として、１０００００００　０００００００１は正の数かというと、下位８ビットは８ビットのときの＋１と同じですが、最上位の１５ビットが１なので、これは負数なのです（１０進数の−３２７６７）。

これとは逆に、０１１１１１１１　１１１１１１１１を符号付の数として考えた場合、下位８ビットは−１と同じ１１１１１１１１ですが、最上位の１５ビットが０なので正の数になります（１０進数の＋３２７６７）。

コンピュータが扱う数は８ビットとは限りません。１６ビット、２４ビット、３２ビットというように、大きな数の計算をしなければならないこともあります。
しかし、８０８０はそのような大きな桁の計算（特に減算）をするときでも、一度に８ビットしか計算をすることができません。
加算でも減算でも、下位から順に８ビットずつ計算を行っていきます。

もう、おわかりいただけたことと思います。
下位パイトの減算を行っているときには、それはまだ途中の計算なので、ＦＦだから負数、０１だから正数というように断定して計算するわけにはいきません。
したがって１６ビットとか２４ビットとかというようにたくさんのビットが並んでいる数の途中の計算をするためには、符号付ではない数（つまり普通の数）として計算するしかないのです。

ずっと減算についての例として説明をしてきましたが、このことは加算についても当てはまります。
前回までの説明はたまたま８ビットの数を使っての説明だったため、負数の加算についても目立った矛盾はでてきませんでした。しかし上位ビットへのキャリーが正しく発生するかどうかと言う点に注目して考えてみると、加算についても、８ビットの部分だけを切り取って、それを無理矢理、負数にしてしまって加算すると、おかしなことになってしまいます。

たとえば、１＋（−１）＝０という計算は、上位桁へのキャリーは発生しません。
しかし、これを２進数で計算してみると、
　　０００００００１
　　１１１１１１１１（＋
１　００００００００

というように、上位桁へのキャリーが発生してしまいます。
これは、上で説明した減算での場合と同じで、ＡＤＤ命令も実は、１＋（−１）＝０ではなくて、１＋２５５＝２５６という計算を行うために、上位桁（上位ビット）へのキャリーが発生するのです。

それじゃあ、負数を含む加算、減算ができないじゃないの？
という当然の疑問がでてきます。
ですから、［第１４回］で、２進数を符号付の数とするか、符号無しの数として扱うかは、「プログラマの勝手」だと言ったのです。

プログラマは、ある２進数を符号付の数として扱うことは自由にできます。
しかし、ＣＰＵは基本的には、符号無しの数として加算または減算を行います。
ただ、その計算が符号付の数に対して行われた場合も考慮して、計算結果のビット７が１になったら、Ｓ（サイン）フラグが立つようにしてあるのです。
プログラマは、キャリーフラグとサインフラグを意味があるものと見るか、無視すべきものかを判断するようにプログラムを書くことで、その計算を結果的に負数を含む計算にすることもできるのです。

上の１＋（−１）の２進数での計算例で、それが８ビットの符号付数の加算であった場合には、キャリーは意味の無いものとして捨てることになります。
もし上の計算が、符号無しの数、とりわけ８ビットよりも大きな数の加算の途中の過程であった場合には、キャリーは上位桁への桁上げを示す重要な情報ですから、捨てることはできません。

うーん。
２進数の計算は、なんと難しいことか。
とお考えのあなた。
実は１０進数でも、同じことなのですよ。

●１０進数なら、どうなの？

２進数の計算を理解するためには、誰でも普通に計算できる１０進数で考えてみることが有効です。

いやあ、１０進数の計算は、２進数のように面倒なことはないよ。

それは、小学校のときに習って、それからずうっとそのまま使ってきていますからね。慣れているだけなのですよ。
１０進数だって、本当は「符号無し」の数しか計算できない仕組みなのですよ。

ちょっと小学校に戻ったつもりで、簡単な引き算をやってみましょう。

　　６ ５ ８
　　□□３（−
　　？？□

昔はこういうのを「虫食い算」と言いました。そのほかにも鶴亀算とか流水算、植木算、などいろいろな計算問題がありましたが、最近はそういうのは教えないようですね？
ただ、この「虫食い算」はちょっと欠陥問題で完全に正解することはできません。
でも一番下位の答えだけは、出せますね？
答えの一番下の位の□には、何が入るでしょうか？

そんなの、５に決まってるじゃないの？ばかにしないでよぉ。

ブ、ブーッ！！
間違いでーす。
正解は、１ですよー。

ほんとうはぁ、

　　６ ５ ８
　　−１ ３（−
　　６ ７ １

だったのですよぉ。
いやぁ、これはひどい。まるでドロンジョ達がよくやるインチキ問題そっくりです。

そうなのですよ。
負数の引き算はできないので、負数を引くときには、負号を取って絶対値？正の数？にしてから、それを加算する、というテクニックを教えられて、それで、何の疑問も感じないでずっときたわけなのですよね。
いや、最初にこういう計算方法を教えられたときに、「えー、なぜぇ？」って疑問に思った方もいらっしゃったのでは？
どうして、マイナスをマイナスするとプラスになるのだろう、って。
１０進数の計算だって、そうやって、よーく考えてみると、なかなか難しいのです。

ともあれ、１０進数の計算でも、負数の存在を考えると、全体を見ないで、下位桁のみを見ての加算、減算はできない、ということがわかりました。
負数を含む計算になると、途端に難しくなってきてしまうのは、２進数だけではなくて、１０進数でも同じことなのです。

でも、でも、えーと、たしかに、６５８−（−１３）は、６５８＋１３というように、引き算を足し算になおしてから、計算しているけれど…。
だから、下位桁だけの計算を考えると、負数の場合と正数の場合とでは、計算結果が違ってきてしまうというのはわかりました、よ。
でも、なんだか、２進数での計算方法とは、ちょっと違うような気がするんだけど…。

たとえば、４２３−１４２は、そのままちゃんと引き算をしているよ。
これは、足し算じゃあないよ。

●１０進数の引き算でも、足し算にできる？

うーん。
そうなのですよね。
１０進数の引き算も、負数の引き算は、足し算に直して計算しますけれど、正の数を引く場合には、そのまま引き算をしていますねえ。
２進数の場合には、負数（２の補数）に直してから、足し算しましたよねぇ。

あれ？
どうして、１０進数の引き算は、４２３＋（−１４２）というようにしても、足し算にならないのでしょう？

ここまで考えてきて、ちょいと面白いことを思いついてしまいましたよ。
ええっ？まてよ？ほんとうに、そうなのか？
最初は、思いついただけで、まさかねぇ、と思ったのですけれど、試しに計算してみたら、なかなか面白いことがわかりました。

２進数と同じように、「補数」を考えると、引き算が足し算になってしまうのです！
（もっとも「補数」というのが、実は「引き算」なのですけれどね）

　　４２３
　　１４２（−
　　２８１

この計算を、２進数のときと同じように考えてみましょう。
２進数では、引く数の補数を考えました。
１）まず、各桁（各ビット）の１と０をひっくり返して、「１の補数」を作りました。
２）次に、「１の補数」に１を加えて、「２の補数」を作りました。
３）その「２の補数」を引かれる数に加算します。
４）最後に、加算の結果、キャリー（桁上げ）が発生したときは、そのキャリーを無効にし、キャリーが発生しなかったら、逆にキャリーを発生させます（減算ですから、上位桁へのボローになります）。
以上で、引き算の答えが求まりました。

それと同じことを１０進数について、考えてみます。
１）まずは、「１の補数」です。２進数では、１と０をひっくり返しましたが、１０進数ではどうすればよいでしょうか？
１０進数では「９の補数」を考えればよいことがわかりました（そんな言葉があるかどうかは知りません。ふと思いついたネーミングです）。
足すと９になる数だから、「９の補数」です。１に対しては８です。４に対しては５です。２に対しては７です。
ですから、１４２の「９の補数」は、８５７になります。
２）その「９の補数」に１を足します。８５７＋１＝８５８です。これは「１０の補数」です（これも、私が思いつきでつけた名前です）。
３）そのようにして作った「１０の補数」を、引かれる数に足してみましょう。
果たして、結果は？

　　４２３
　　８５８（＋
１　２８１

最後に、４）の仕上げです。
上位桁への桁上げが発生したときは、それを無効にします。

おお。すると、結果は２８１になるではありませんか。
やっぱり、なんだか手品のようですね。

●下位桁からの桁上げがある場合の減算は？

ところで、上の計算例では、引く数１４２をひとまとめにして、「１０の補数」を作って、それを４２３に加算しました。
でも、その計算は、１桁ごとに行うこともできるはずです。
たとえば最下位に注目すると、３−２の計算になります。「１０の補数」の加算に変換すると、３＋８＝１１になります。
ですから、最下位桁の答えは１です。
上位桁への桁上げ（キャリー）が発生しますが、４）のルールでそのときは逆にキャリーを無効にします。

さて、では、この先、その上の桁の計算はどうなるのでしょうか？

実は、この上の桁の計算は、ＳＵＢではなくて、ＳＢＢのルールで行わなければなりません。
ＳＢＢのルール、つまり下位桁からのキャリー（ボロー）を含めた減算のルールです。
本当は、それを今回、説明するつもりだったのですが、また道草を食ってしまいました。
次回は、その説明をすることにいたします。
２００９．４．１ｕｐｌｏａｄ
２００９．４．３一部加筆

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