標準ＴＴＬだけ（！）でCPUをつくろう！（組立てキットです！）
(ホントは７４ＨＣ、ＣＭＯＳなんだけど…）
［第１７回］

●ＤＡＡのお話の続き（その５　今度こそ、本当に終わり、です）

今までの流れで、こういう見出しになってしまいましたが、ＤＡＡについてはもう終わってしまいました。
ほんとうは、２進数の負数のお話の続きです。

前回の答えです。
十進数の加減算は、もとの数が負数のときには、それに正数を加算、減算すると、結果の増減は絶対値で見ると、もとの数が正数のときの加算、減算での結果の逆になります。
１００＋１０＝１１０のようにもとの数が正数のときには結果の数は大きくなりますが、−１００＋１０＝−９０のようにもとの数が負数のときには、結果の数（の絶対値）は小さくなります。

これに対して、２進数における加減算では、もとの数が正数であっても、負数であっても、結果の値を、符号無し２進数として見てみると、その増減は一致しています。つまり正数を加算した場合にはもとの数が負数でも正数でも結果の値は大きくなり、正数を減算した場合には、小さくなります。

前回の２進数の計算例をもう一度示します。

１００＋１０＝１１０の計算を２進数（１６進数）で行います。
　０１１０　０１００　　　　１００（１６進数の６４）
　００００　１０１０（＋　　　１０（１６進数の０Ａ）
　０１１０　１１１０　　　　１１０（１６進数の６Ｅ）

１６進数で見ると、もとの数６４が６Ｅになって、値が大きくなります。

−１００＋１０＝−９０の計算を２進数（１６進数）で行います。
　１００１　１１００　　　　−１００（１６進数の９Ｃ）
　００００　１０１０（＋　　　　１０（１６進数の０Ａ）
　１０１０　０１１０　　　　　−９０（１６進数のＡ６）

１６進数で見ると、もとの数９ＣがＡ６になって、こちらも大きくなっています（この説明のように、符号無し２進数の代わりに、１６進数で考えた方がわかりやすいと思います）。
それでは、逆に負数を加算したら、どうなるでしょうか？そこまで考えてみることで、１０進数の計算と２進数の計算の違いを完全に理解できるのです（と思います）。その検討については、もう少しあとですることにします。

●人間の計算方法（十進数）とコンピュータの計算法（２進数）は根本的に異なっている

十進数の計算は、人間が行いますから、符号付の数の計算を行う場合に、必要に応じて加算なのに引いてみたり、減算なのに足してみたりしながら計算を行っています。
その計算方法は結構大変なのですが、私たちは、もう慣れてしまっているので、普段なんとも思わずにやってしまっているのです。
しかし、これをそのまま、コンピュータにやらせようとすると、これはもう、大変なことになってしまいます。

コンピュータは、非常に頭が悪いのです。まったくどうしようもないほど、バカなのです。
人間の複雑な思考にはとてもついてはいけません。
なんたって、１と０しか理解できないのですから。

どこが、複雑なんだ？
あんたの言ってることは、よくわからないよ！いったい何が言いたいのっ！

すみません。どうも、表現力に欠けるものですから…。
では、簡単な例で説明いたしましょう。

十進数の２５＋３＝２８の計算を筆算でやってみましょう。
簡単です。
　２５
　　３（＋
　２８
になります。

では、今度は−２５＋３＝−２２の計算を同じように筆算でやってみましょう。
　-２５
　　　３（＋
　-２２
になります。

今度は負数を加算してみましょうか。２５＋（−３）＝２２の計算を筆算でしてみましょう。
　２５
　-３（＋
　２２
です。

今度は−２５＋（−３）＝−２８の計算を筆算でやってみましょう。
　-２５
　　-３（＋
　-２８
になります。

こんな簡単な計算のどこが複雑なのぉ？コンピュータならこの何百倍もすごい計算を瞬時にやってのけるって言うじゃない！

いやぁ、こういう「むつかしい計算」は、コンピュータは大の苦手なんですよ。

ぶつよ、ほんとに！

では、お尋ねしますけれど、上の計算例で、２５＋３のときには、５に３を足しましたね？

足したよ。

でも、−２５＋３のときには、５から３を引いてしまいました。

そんなの、当たり前じゃないか！負数の計算では、そうするのっ！学校でならったでしょ！

でも、でも、そのあとの、２５＋（−３）のときは、５から３を引いているかと思ったら、−２５＋（−３）のときはまた５に３を足してます。わけがわかりません…。

あのねー。だから、負数の計算はそういうものなのっ！

では、では、お尋ねしますが、もしも、上の計算例で、全体が見えなくて、一番下の一桁しか見えなかったとしたら、どうします？
□□５
□□３（＋
のような計算だったら、５に３を足すのですか？それとも５から３を引くのですか？さあ、虫食い算ですよぉ。

できるわけないじゃないのっ！こんなの！インチキ虫食い算だよっ！

推理ドラマなどのナレータのセリフを借りて書いてみますと、
「賢明な読者諸君でしたら、もうお分かりだと思います」

●コンピュータは単純な作業が得意。複雑な思考は、できません。

前回、どこかに書いたと思います。
８ビットのＣＰＵは一度に１バイト（８ビット）の計算しかできません。
１６進数わずか２桁しか１度に計算できないのです。
いや、それではまだ的確な表現ではありません。
もっと正確にいうと、８ビットのＣＰＵは一度に１バイト（８ビット、１６進数２桁）の数値しか、認識できないのです。

さきほどの十進数の計算例に戻ります。
私たちがこのような計算をする場合には、瞬時にして、符号の有り無しや数の大小をまず読みとって、それから必要な計算方法を選択して、計算を始めます。
しかし、コンピュータは、私たちが日常生活でごく普通にこなしている、この、「瞬時にして全体をとらえる」ということが、苦手中の苦手なのです。

では、コンピュータは、何が一番得意なのでしょうか？
０＋０＝０、０＋１＝１、１＋０＝１、１＋１＝１＋ｃａｒｒｙ、だけの組み合わせしかない演算の繰り返しが、一番得意なのです。
判断は普通減算を利用しますが、その減算すら、前々回の減算に対する十進補正のところでお話しましたように、加算に変換して行ってしまうのです。

いずれ説明するかもしれませんが、「ＴＴＬでＣＰＵをつくる組立キット」の回路では、７４ＨＣ２８３というＩＣを使います。４ビットの加算器です。このＩＣはその名の通り、加算を行うものです。
８０８０には加算命令ＡＤＤの外に減算命令ＳＵＢがあります。
しかし、「ＴＴＬでＣＰＵをつくる組立キット」の回路には加算器はあっても、「減算器」はありません。
どうやって加算器だけで減算をおこなうのかというと、まさにその、減算を加算にしてしまう仕組みを、ＴＴＬ回路でも応用しているのです。

●符号付２進数の特徴とは？

またお話がだんだんとそれていってしまいます。
２進数の負数のお話に戻ります。
８ビットのコンピュータ（ＣＰＵ）は一度に８ビットしか認識できません。
すると、計算をする場合でも、数値の下位１桁か２桁しか認識できないので、十進数の計算のように、まず負号の有無を確認して、それが有ったら、加算する代わりに減算して、それから、えーと、それから…、というようなことをしていると、回路もプログラムもどんどん複雑になってしまって、わけがわからなくなってしまいます。

符号付２進数の仕組みは、このようなコンピュータの長所と短所を的確にとらえて考え出された仕組みなのです（と、私は思います）。
もう一度前回の答えのお話に戻ります。
符号付２進数に対する計算は、じつはその数を符号無し２進数だと考えて計算してもよい、という構造になっているのです。
これは非常に重要なことなのです。

符号付２進数は最上位ビットが符号ビットになっている、ということはすでに説明しました。
しかし、それは、符号ビット以外のビットだけを見たときには、その数の正負はまったく判断できない、ということも意味しているのです。

だから、一度に１桁か２桁しか認識することも計算することもできない８ビットのコンピュータ（ＣＰＵ）で、計算をさせるためには、その下位桁や途中の桁だけを取り出したら、足してよいのやら引いてよいのやら判断できない、というような数の仕組みでは使い物にならないのです。
ここでは、８０８０のお話なので８ビットＣＰＵとして説明しましたが、３２ビットや６４ビットのＣＰＵでも理屈は同じです。

２進数では、負数のはずなのに、正数だと思って計算しても正しい結果になってしまったり、同じ値の８ビットの数なのに、同時に互いに異なった大きさの正負の２値になってしまったり、というように、ちょっと考えると理屈にあわないと思えるところがありますが、それは実は、正負や数の大小を考慮せずに、その数の一部分だけを取り出して計算することを可能にする、という非常に巧妙な仕組みの上になりたっているのです。

●２進数は「金太郎飴」と同じ

論より証拠！です。せっかく十進数の簡単な加算例をあげて説明しましたから、同じことを２進数でやって、それが本当なのかどうかを確かめてみましょう。

まず、最初は２５＋３＝２８です。２進数ではこうなります。
　０００１　１００１　　　　２５（１６進数の１９）
　００００　００１１（＋　　　３（１６進数の０３）
　０００１　１１００　　　　２８（１６進数の１Ｃ）

次は、−２５＋３＝−２２です。
　１１１０　０１１１　　　−２５（１６進数のＥ７）
　００００　００１１（＋　　　３（１６進数の０３）
　１１１０　１０１０　　　−２２（１６進数のＥＡ）

今度は、２５＋（−３）＝２２です。
　０００１　１００１　　　　２５（１６進数の１９）
　１１１１　１１０１（＋　　−３（１６進数のＦＤ）
　０００１　０１１０　　　　２２（１６進数の１６）

最後に、−２５＋（−３）＝−２８です。
　１１１０　０１１１　　　　−２５（１６進数のＥ７）
　１１１１　１１０１（＋　　　−３（１６進数のＦＤ）
　１１１０　０１００　　　　−２８（１６進数のＥ４）

いかがでしょうか？２進数の加算では、足す数や足される数が正数であっても負数であっても、その一部分を取り出して、どのビットの計算に注目してみても、０＋０＝０、０＋１＝１、１＋０＝１、１＋１＝０＋ｃａｒｒｙ、以外のルールは全く使われていない、ということが理解いただけたでしょうか？
ここで例にあげた２進数は、符号付の２進数なのですが、一見不思議なことに、単なる符号を意味するビットのはずの最上位ビットが計算の過程では数値の一部として、桁上げやビット毎の計算に巻き込まれてしまっていることです。つまり２進数では、符号ビットはただの符号の情報を保持しているだけではなくて、同時に数の一部としても機能しているのです。

ずっと昔、少年のころに読んだ手塚治虫の「鉄腕アトム」にムカデの化け物のようなロボットが出てきたことを思い出しました。
顔の無い手と足だけの同じ形をしたロボットが数珠のように合体すると、巨大なムカデロボットになってしまいます。
２進数は、部分だけを見ると全く同じ性質をしていて、くっつけたり、切り離したり、長さをどのようにでも変えられる変幻自在な数なのかもしれません。

（ここではこれ以上は例をあげて説明しませんが）上の計算例では８ビット（１６進数２桁）の数値として加算を行いましたが、この計算が、たとえば３２ビット（１６進数８桁）の２進数の計算の一部としてもそのまま成立しますし、さらには、たとえば１００ビットとか１０００ビットとかといった巨大な数の計算の一部としても成立してしまう！のです。

前回、ＤＡＡの回路図について、２入力のゲートを多用している、ことについてお話をしました。
その理由としては、ここで説明したのと同じ、「コンピュータの考え方の原則」といったようなものを肌で感じる、という目的もあるのです。
ＣＰＵのように複雑な働きをする回路でも、２進数の計算と同じように、じつはＡＮＤやＯＲの組み合わせのみでつくることができる、ということを実証してみよう、というのが「ＴＴＬだけでＣＰＵをつくる組立キット」の大きな目的でもあるのですから。
２００８．７．２４ｕｐｌｏａｄ

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